17.4 : Właściwości transformaty Fouriera II

Transformata Fouriera (FT) jest podstawowym narzędziem matematycznym w przetwarzaniu sygnałów, przekształcającym sygnał w dziedzinie czasu do jego reprezentacji w dziedzinie częstotliwości. Ta transformacja wyjaśnia związek między czasem i częstotliwością poprzez kilka właściwości, z których każda ujawnia unikalne aspekty zachowania sygnału.

Właściwość przesunięcia częstotliwości transformacji Fouriera podkreśla, że przesunięcie w dziedzinie częstotliwości odpowiada przesunięciu fazy w dziedzinie czasu. Matematycznie, jeśli x(t) ma transformatę Fouriera x(f), to x(t)e^(j2πf_0t) ma transformatę Fouriera X(f−f_0). Ta właściwość jest fundamentalna w nadawaniu radiowym, gdzie przesunięcie częstotliwości moduluje sygnał nośny sygnałem wejściowym, umożliwiając jednoczesną transmisję wielu kanałów poprzez przypisanie różnych pasm częstotliwości do każdego kanału.

Właściwość różniczkowania czasowego stwierdza, że transformata Fouriera pochodnej funkcji x(t) jest dana przez j2πfX(f), gdzie X(f) jest transformatą Fouriera x(t). Oznacza to, że różniczkowanie w dziedzinie czasu odpowiada mnożeniu przez j2πf w dziedzinie częstotliwości. Zrozumienie tej własności jest kluczowe dla analizy, w jaki sposób zmiany czasowe, takie jak te wprowadzane przez opóźnienia transmisji oparte na strefie czasowej, wpływają na sygnały.

Właściwość różniczkowania częstotliwości uzupełnia różniczkowanie czasowe, podkreślając głębokie powiązania między domenami czasu i częstotliwości. Pokazuje, że różniczkowanie funkcji w dziedzinie częstotliwości odpowiada mnożeniu w dziedzinie czasu przez −j2πt.

Właściwość dualności ujawnia głęboką symetrię między domenami czasu i częstotliwości. Jeśli X(f) jest transformatą Fouriera x(t), to x(f) jest transformatą Fouriera X(−t). Ta dualność podkreśla lustrzaną relację między tymi domenami, gdzie transformacje w jednej domenie są odzwierciedlane w drugiej, ze zmianą znaku w członie wykładniczym całki Fouriera.

Na koniec, własność splotu jest kluczowa w przetwarzaniu sygnału. Twierdzi ona, że transformacja Fouriera splotu dwóch funkcji w dziedzinie czasu jest iloczynem ich indywidualnych transformacji Fouriera. Jeśli x(t) i h(t) są splecione, aby wytworzyć y(t), to Y(f) = X(f)H(f), gdzie Y(f), X(f) i H(f) są transformacjami Fouriera odpowiednio y(t), x(t) i h(t). Ta własność upraszcza kombinację wielu sygnałów i jest szeroko stosowana w filtrowaniu i analizie systemów.

Te właściwości transformacji Fouriera łącznie zwiększają zrozumienie zachowania sygnału w zależności czasu i częstotliwości, zapewniając solidne ramy do analizy i manipulowania sygnałami w różnych zastosowaniach, od nadawania radiowego po przetwarzanie dźwięku.