23.6 : Criterio di Routh-Hurwitz I

Si consideri una rete elettrica, in cui la stabilità è essenziale per prevenire i blackout. Il criterio di Routh-Hurwitz, è uno strumento prezioso per valutare la stabilità del sistema in condizioni di carico variabili o guasti. Analizzando la funzione di trasferimento a circuito chiuso, il criterio di Routh-Hurwitz aiuta a determinare se il sistema rimane stabile.

Per applicare il suddetto criterio, viene costruita una tabella di Routh. Le righe della tabella sono etichettate con potenze della variabile di frequenza complessa s, a partire dalla potenza più alta. La variabile s rappresenta un numero complesso, in genere nella forma:

dove σ è la parte reale e jω è la parte immaginaria. La prima riga è riempita orizzontalmente con ogni altro coefficiente del polinomio denominatore, a partire dalla potenza più alta. La seconda riga è quindi popolata con i coefficienti saltati dalla prima riga.

Le voci successive nella tabella Routh, vengono calcolate utilizzando i determinanti delle righe precedenti. In particolare, ogni voce viene determinata prendendo il determinante negativo delle due voci sovrastanti e dividendolo per la prima voce nella colonna direttamente sovrastante. Questo processo, continua finché l'intera tabella non viene riempita.

A titolo illustrativo, si consideri un sistema per cui vengono calcolate le righe della tabella di Routh. Se necessario, ogni riga viene ridimensionata indipendentemente da una costante positiva, per semplificare i calcoli. Secondo il criterio di Routh-Hurwitz, il numero di radici del polinomio nel piano s della metà destra, corrisponde al numero di cambiamenti di segno nella prima colonna della tabella di Routh. Questi cambiamenti di segno indicano instabilità.

Al contrario, un sistema è stabile se tutti i poli sono nel piano s della metà sinistra, ovvero non ci sono cambiamenti di segno nella prima colonna della tabella di Routh. Assicurare che non si verifichino cambiamenti di segno, conferma che il sistema rimarrà stabile in varie condizioni operative.

Comprendere e applicare il criterio di Routh-Hurwitz, è fondamentale per mantenere la stabilità di sistemi complessi come le reti elettriche. Verificando che tutti i poli siano posizionati nel piano s della metà sinistra, gli ingegneri possono garantire che il sistema funzioni in modo affidabile, prevenendo problemi come blackout e garantendo un'alimentazione continua. Questo metodo fornisce un approccio sistematico all'analisi della stabilità, identificando e mitigando la potenziale instabilità nel sistema.