21.7 : Funzione di Trasferimento allo Spazio di Stato

La rappresentazione dello spazio di stato, è un potente strumento per simulare sistemi fisici su computer digitali, che richiede la conversione della funzione di trasferimento, in forma di spazio di stato. Si consideri un'equazione differenziale lineare di ordine n, con coefficienti costanti, come quelli riscontrati in un circuito RLC. Sono selezionate come output, le variabili di stato e le sue derivate n−1. La differenziazione di queste variabili e la loro sostituzione nell'equazione originale, produce le equazioni di stato.

In un circuito RLC, la tensione attraverso il condensatore e la corrente attraverso l'induttore, possono essere utilizzate come variabili di stato. Ad esempio, in un sistema di secondo ordine, come un circuito RLC in serie, possiamo definire la tensione attraverso il condensatore Vc, come prima variabile di stato e la corrente attraverso l'induttore iL, come seconda variabile di stato. La funzione di trasferimento per un circuito RLC, viene prima moltiplicata in modo incrociato per ottenere l'equazione differenziale. Applicando la trasformata inversa di Laplace e assumendo condizioni iniziali pari a zero, si può derivare la forma nel dominio del tempo dell'equazione.

Vengono quindi scelte come derivate successive dell'output le variabili di stato e viene applicata la differenziazione a entrambi i lati dell'equazione, per generare le equazioni di stato.

Le equazioni differenziali del sistema vengono quindi rappresentate in forma di matrice vettoriale, producendo uno schema distinto di 1 e 0, insieme ai coefficienti negativi dell'equazione differenziale originale.

Questa è nota come forma a fase variabile delle equazioni di stato. La struttura a matrice, fornisce un metodo chiaro e conciso per simulare e analizzare il comportamento dinamico del sistema.