21.6 : ייצוג במרחב המצבים

טכניקת מישור התדר, הנפוצה בניתוח ותכנון מערכות בקרה עם משוב, יעילה עבור מערכות ליניאריות בלתי תלויות זמן. עם זאת, היא פחות מתאימה למערכות לא ליניאריות, תלויות זמן או כאלו בעלות קלטים ופלטים מרובים. גישת מישור הזמן או גישת מרחב-המצבים מתמודדת עם מגבלות אלו על ידי שימוש במשתני מצב לבניית מערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, הנקראות משוואות מצב, עבור מערכת מסדר n.

נתבונן במעגל RLC, מערכת נפוצה מסדר שני. כדי לנתח את המעגל הזה בגישת מרחב-המצבים, יש צורך בשתי משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון בו זמנית. משתני המצב בהקשר זה נגזרים מהכמויות המופיעות בנגזרות במשוואות הקשורות לאלמנטים האוגרים אנרגיה, כמו הסליל והקבל.

חוקי המתח והזרם של קירכהוף משמשים לגיבוש משוואות המצב. חוק המתח של קירכהוף (KVL) קובע שכל הפרשי הפוטנציאלים החשמליים סביב לולאה שווים לאפס, בעוד שחוק הזרם של קירכהוף (KCL) קובע שסכום הזרמים הנכנסים לצומת שווה לסכום הזרמים היוצאים ממנו. חוקים אלו מאפשרים לבטא משתנים שאינם משתני מצב כשילובים ליניאריים של משתני המצב והקלטים.

במעגל RLC, משתני המצב הם המתח על הקבל VC​ והזרם דרך הסליל iL. חוקי קירכהוף מבטאים את הזרם דרך הנגד ואת יתר המשתנים שאינם משתני מצב במונחים של VC ו-iL. ביטויים אלו מוחלפים לאחר מכן במשוואות הדיפרנציאליות המקוריות של המעגל.

לאחר גזירת משוואות המצב, השלב הסופי הוא לייצג אותן בצורת וקטור-מטריצה, ולהשיג את הייצוג במרחב-המצבים. עבור מעגל RLC, ייתכן שנגדיר את וקטור המצב x, וקטור הקלט u, וקטור הפלט y, ואת המטריצות A, B, C ו-D כך ש:

ייצוג זה חיוני לניתוח ההתנהגות הדינמית של המערכת ולתכנון אסטרטגיות בקרה מתאימות.

לסיכום, גישת מרחב-המצבים מספקת מסגרת איתנה לטיפול במערכות מורכבות, ומרחיבה את היכולות של טכניקות מישור התדר בכך שהיא מתמודדת עם אי-ליניאריות, שינויים בזמן, וריבוי קלטים ופלטים.